Математика · Векторы

Векторы I. Насколько и куда

Глава I

Одного числа недостаточно

Команда дана, а куда — не сказано

Уильям Гамильтон десять лет искал число, которое помнит не только величину, но и направление, и в 1843 году нашёл ответ в кватернионах — алгебре, придуманной ради самой математики. Из этой абстракции вырос инструмент, на котором сегодня держатся повороты камеры в видеоиграх, распознавание лиц и языковые модели: всюду, где сложный объект приходится превращать в набор чисел.

Первые шаги к нему начинаются с вопроса, на который одним числом не ответить. Давай разберём на примере: бухта, мели и узкий выход в открытое море. Катером управляет автопилот — он выполнит ровно ту команду, которую получит, не более.

Длина и направление вместе

Число отвечало только на вопрос «насколько?». Но движение требует второго ответа: «куда?».

Математикам понадобился объект, который хранит оба ответа сразу. Так появляется вектор. Пока без формул и координат — просто стрелка: её длина отвечает «насколько?», наконечник — «куда?».

Само слово пришло из латыни: vector — «переносящий», от vehere — «везти, нести». Тот же корень у конвекции — переноса тепла. Имя оказалось точным, и вот почему.

У вектора нет закреплённого начала. Его можно нарисовать от любой точки. Перенеси стрелку в другое место: если её длина и направление сохранились, новая стрелка изображает тот же вектор. Изменилось только начальное положение вектора на рисунке.

Какие векторы считаются равными?

Теперь посмотри на две стрелки одинаковой длины, направленные в разные стороны. Равны ли изображённые ими векторы?

Что осталось в голове?

Про вектор сказано всё, что нужно на этом шаге, — проверим, что из этого осталось в голове. Заход засчитан только целиком: за одну проверку отмечено ровно всё верное и ничего лишнего.

Сложность сравнения

Условие равенства векторов известно, воспользуемся им.

Глава II

Как записать вектор числами

Декарт и муха

Глаз только что подвёл: векторы различались, а уловить разницу было сложно. Значит, вектор нужно уметь описывать не чертежом, а числами — так, чтобы человек, который не смотрит на твой экран, построил ровно такой же вектор.

Чтобы описывать вектор числами, сначала пришлось научиться описывать числами точку.

1637 год, Нидерланды. Рене Декарт искал способ связать геометрию с алгеброй: сделать так, чтобы рисунок превращался в числа, а числа — обратно в рисунок. Если верить легенде, помогла ему в этом муха. Она ползла по потолку над его кроватью, и Декарт задумался: как точно сказать, где она находится, не отделываясь бесполезным «вон там, чуть правее»?

Читаем адрес точки по осям

Развернём потолок к себе — пусть будет стена: для координат положение плоскости не важно, а читать так удобнее. Муха сидит на стене, и пока про её место можно сказать только «вон там».

Порядок записи — договорённость, а не закон природы: сначала горизонталь, потом вертикаль. Но раз договорились, порядок обязателен: (3; 2) и (2; 3) ведут в разные точки.

Координатный прицел

Читать адрес ты уже умеешь. Обратный ход сложнее: назвать числа так, чтобы по ним попали ровно туда, куда нужно.

Хватит ли длины языка?

Координаты отвечают, где находится объект. Но если вопрос другой, например, хватит ли длины языка лягушки, чтобы поймать муху, ускользнувшую от тапка?

Одну наклонную стрелку мы разложили на два понятных движения: вдоль горизонтали и вдоль вертикали. Эти «тени» вектора на оси называют проекциями вектора — они говорят не про всю длину, а про то, какое смещение пришлось на каждую из осей. Слово тоже латинское: proiectio — «бросание вперёд», от pro «вперёд» и iacere «бросать». Тень и правда отброшена — на ось.

Неподвластные законы, или что будоражило древних греков в математике?

Горизонталь, вертикаль и язык лягушки образовали одну из самых известных геометрических фигур — прямоугольный треугольник: две стороны известны, осталась третья. И здесь нас догоняет идея, которой больше двух тысяч лет.

Пифагорейцы были не просто учениками одного учителя — это было закрытое философское братство, его иногда называют древней «математической сектой». Древних греков поражала мысль:

Существуют истины, которые не зависят от человеческой воли. Правитель может принять закон, отменить его или переписать. Но ни один правитель не способен изменить законы природы и математики.

Греки верили во многих богов и часто объясняли устройство мира их волей — поэтому в неизменных законах они могли видеть порядок, установленный свыше.

Один из таких математических законов сейчас нам и пригодится. Он про стороны прямоугольного треугольника — а у сторон, оказывается, есть собственные имена, и пришли они со стройки.

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы — и это не зависит ни от царя, ни от страны, ни от эпохи. Мы называем правило теоремой Пифагора, хотя само соотношение было известно задолго до него.

Вода и фигуры на экране только послужили визуальной демонстрацией математической теории. Но истинность данного факта следует из доказательства, которое в рамках данного урока мы не рассматриваем.

Длина «натянутой»?!

Правило разобрано — остаётся научиться им пользоваться. Два катета известны, наклонная сторона — нет: посчитай её сам.

Координаты и модуль

Таким образом, чтобы найти длину наклонной линии, нам понадобились всего два числа: смещение +8 по горизонтали (по оси x) и смещение +6 по вертикали (по оси y). Эти два числа полностью описывают вектор на выбранной сетке, и называют их координатами вектора:

Слово собрано из двух латинских: co- — «вместе» и ordo — «порядок». Координаты и работают только вместе и только в заданном порядке: (8; 6) и (6; 8) — разные векторы.

А найденная длина 10 — это числовая характеристика вектора, или, как говорят математики, модуль вектора. Слово пришло из латыни: modulus — «мерка», уменьшительное от modus — «мера». Мера — та самая числовая характеристика, по которой величины сравнивают между собой: у одного вектора модуль 10, у другого 8 — и сразу понятно, какой длиннее.

Координаты отвечают: «на сколько смещаемся по каждой оси и в каком направлении». Модуль оставляет только величину и отбрасывает направление. Общая формула собирается из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

Индекс внизу говорит, вдоль какой оси считаем шаги: ax — шаги вдоль оси x, ay — вдоль оси y. Шаги совпали с направлением оси — число положительное; пошли против оси — отрицательное. Скрытого смысла в минусе нет, это математическая формальность.

Но формальность удачная — она убирает путаницу «лево-право». Слова «влево» и «вправо» зависят от того, откуда смотришь: обойди тот же объект с другой стороны, и его «лево» станет твоим «право». Ось выбирают один раз, и после этого минус означает одно и то же для всех, кто на неё смотрит.

Векторная величина = числовая характеристика (модуль) + направление.

Ровно то, что в первой части демонстрировалось на чертеже, теперь записано числами.

Адрес или команда

Дальше — рассмотрим ситуацию, в которой часто возникает путаница: точка и вектор записываются одной и той же парой чисел. Разберись на сцене, когда пара чисел — адрес, а когда — команда.

A(4; 3) — это адрес: где находится объект. a = (4; 3) — это инструкция: из любого старта сдвинься на 4 вправо и на 3 вверх.

Но если адрес и команда — разное, то как они связаны? Ведь стрелку на сетке задают всё теми же точками. Начнём с простого: научимся по координатам находить длину отрезка.

Длина вдоль оси — это разность координат: из координаты конца вычитаем координату начала. У наклонного отрезка одной такой разности мало: их сразу две, по одной на каждую ось.

Вектор — это и есть пара таких сдвигов: по горизонтали и по вертикали одновременно. Поэтому его и записывают двумя числами сразу.

Для стрелки из C в D та же запись выглядит так:

Разность бывает и отрицательной: если конец левее начала, по оси x получится число со знаком минус. Знак показывает направление сдвига вдоль оси: плюс — по направлению оси, минус — против оси. Длину вектора знак не меняет.

Ну, допустим, мы кое о чём умалчивали. Всё это время начало стрелки стояло где угодно — а есть особый случай, когда его закрепляют.

Если начало вектора закреплено в точке O(0; 0), а конец приходит в точку A, такой вектор называют радиус-вектором точки A. Radius на латыни — «луч», а ещё «спица колеса»: такой вектор всегда выходит из одного закреплённого центра. Это частный случай: обычный вектор по-прежнему можно переносить.

В физике радиус-вектор используют широко: там удобнее, когда начало чётко зафиксировано — например, при описании движения тела, при поиске центра масс или момента силы.

Проекции на оси

Стоит отметить, что у координат вектора есть второе имя — проекции на оси. Проекция отвечает не на вопрос «какой длины вектор», а на вопрос «насколько вектор смещает нас вдоль одной выбранной оси».

Почему так? Модуль — в геометрическом смысле это расстояние между началом и концом вектора. Расстояние отрицательным не бывает: пройти «минус три метра» нельзя — можно пройти три метра в другую сторону. Направление уже сказано самой стрелкой, и числу остаётся только величина.

У проекции вопрос другой: не «сколько прошли всего», а «на сколько продвинулись вдоль этой оси». Здесь важно направление — по оси или против неё, — и его берёт на себя знак. А если стрелка смотрит поперёк оси, вдоль неё она не продвигает вовсе: проекция равна нулю.

Модуль = расстояние, поэтому он всегда неотрицателен. Проекция = сдвиг вдоль оси, поэтому она может быть положительной, отрицательной или нулевой.

Глава III

Как векторы работают вместе

Две руки

Сядь и разведи руки перед собой так, чтобы между ними получился прямой угол. Представь, что за каждую руку тебя тянут — одинаково сильно. Куда тебя потянет?

Направление ты нашёл сам: тянет вперёд — туда, куда не тянет ни одна из рук в отдельности. А насколько сильно тянет — сказать нечем. Глаз ловит только границы: сильнее одной руки, слабее двух вместе. Между этими границами он бессилен — и верная длина, и заметно бо́льшая выглядят одинаково правдоподобно.

Значит, нужен способ, который позволит точно найти результат воздействия двух векторов, — то есть научиться складывать векторы.

Катер и течение

Вернёмся к катеру. Мотор толкает его вперёд, но течение одновременно сносит вправо — с ним происходит ровно то же, что с тобой между двумя руками: два воздействия начались в одной точке и действуют одновременно. Куда катер придёт на самом деле?

Строим параллелограмм

На катере параллелограмм достроила сцена — но давай проверим принцип сложения сами.

Два вектора, приложенные к одной точке, складываются по правилу параллелограмма: их общий результат — диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

Два перемещения по очереди

Оба вектора до сих пор выходили из одной точки — так и есть, когда воздействия начинаются разом. Но получить сумму векторов можно и по-другому: провести первый вектор из любой точки, а второй вектор провести из конца первого.

По сути, без разницы, как складывать векторы, по правилу треугольника или по правилу параллелограмма: выбор чаще определяется удобством того или иного способа в рамках задачи.

«Цепочка» из векторов

Векторов, впрочем, редко бывает ровно два. Например, на катер, кроме вектора перемещения за счёт двигателя и течения, может влиять ветер — итого три фактора, три вектора. Строить сумму векторов по правилу параллелограмма становится не самым рациональным решением.

Так складывают любое число векторов — по правилу многоугольника: каждый следующий пристраивается началом к концу предыдущего, а сумма — замыкающая от начала первого до конца последнего. Правило треугольника — тот же приём для двух слагаемых.

Каждая ось ведёт свой счёт

В цепочке ты складывал координаты сам: горизонтали отдельно, вертикали отдельно. У этого счёта есть общая запись.

Каждая ось ведёт свой счёт и с соседней не смешивается. Слагаемых может быть три, как в цепочке, или пять — от их числа правило не меняется. И рисовать при этом ничего не нужно: там, где чертить некогда — в навигации, в баллистике, в расчёте нагрузок, — векторы складывают именно так.

Одно «звено» дважды подряд

В цепочке звенья были разные. А если повторить одно и то же звено — пройти тот же вектор дважды подряд?

Умножение вектора на число k умножает на это число каждую координату: ka = (ka_x; ka_y). Пока k > 0, направление остаётся прежним, а длина меняется во столько же раз: при k > 1 вектор растягивается, при 0 < k < 1 — укорачивается.

Отдельно стоит случай k = 0: длины не остаётся вовсе — но и «ничего» тоже не остаётся.

Вектор нулевой длины называют нулевым и записывают 0 = (0; 0). Это не число ноль, а вектор: у него есть запись координатами, но нет направления.

Что станет с направлением?

Множитель до сих пор был положительным, и вектор оставался на своей половине прямой: то вытягивался, то укорачивался, но смотрел всё туда же. А отрицательное число — оно ведь тоже число, и его тоже можно поставить перед вектором. Что тогда?

Вектор −a называют противоположным вектору a: длина та же, направление обратное. Умножение на −1 не поворачивает вектор, а меняет его направление на противоположное. В общем виде знак множителя отвечает за направление, а его модуль — за длину: |ka| = |k| · |a|.

Отсюда видно, чем AB отличается от BA — той самой пары, у которой оба знака переворачивались, когда ты считал координаты по концам.

AB и BA — разные векторы: длина у них одна, а направления противоположны, и второе условие равенства не выполняется. Равными они становятся только после умножения одного из них на −1:

Что значит вычесть вектор?

Складывать векторы ты уже умеешь, а из прошлой сцены знаешь, как выглядит «то же самое, только навстречу». Осталось соединить одно с другим: что значит вычесть один вектор из другого?

Вычесть вектор — значит прибавить противоположный. Отдельного правила для вычитания нет: работает то же сложение.

В координатах вычитание идёт по осям, как и сложение: a − b = (a_x − b_x; a_y − b_y).

А если оба вектора отложены от одной точки, разность a − b читается прямо с чертежа: это вектор из конца вычитаемого в конец уменьшаемого — от острия b к острию a. Отсюда же и счёт координат по двум точкам из части 2: AB — это «конец минус начало», то есть разность.

Разминка-заминка

Мы начинали с катера, которому сообщили одно число — и этого не хватило, чтобы прийти в нужную точку. Теперь у тебя есть всё, чего тогда не хватало:

• отличать точку от вектора;
• записывать вектор координатами и читать проекции со знаком;
• находить длину по теореме Пифагора;
• складывать векторы — цепочкой на чертеже и по осям в числах;
• умножать вектор на число, в том числе на отрицательное;
• вычитать вектор, то есть прибавлять противоположный.

Каждое из этих умений ты пробовал по отдельности. В задаче они приходят вместе — и вся сложность оказывается в порядке шагов, а не в самих шагах. Собери цепочку целиком:

Глава IV

Порешаем…

Две задачи целиком

Дальше — не разбор по шагам и не тренажёр с окнами: условие, чертёж и одно поле для ответа. Ни одного действия, которого ты сегодня не делал руками.

Если застрянешь — подсказка рядом, и она идёт ступенями: сначала «определи координаты», потом «выполни умножение», потом «сложи проекции». Просить помощь — не ошибка; ошибка — сидеть над задачей молча.